麥比烏斯圈是什么：
         麥比烏斯圈(m?bius strip, m?bius band)是一種單側(cè)、不可定向的曲面。因a.f.麥比烏斯(august ferdinand m?bius, 1790-1868)發(fā)現(xiàn)而得名。將一個長方形紙條abcd的一端ab固定，另一端dc扭轉(zhuǎn)半周后，把ab和cd粘合在一起 ，得到的曲面就是麥比烏斯圈。
麥比烏斯圈的發(fā)現(xiàn)：
         數(shù)學上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，Zui后把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要涂完一個面再重新涂另一個面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？
         對于這樣一個看來十分簡單的問題，數(shù)百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結(jié)果都沒有成功。后來，德國的數(shù)學家麥比烏斯對此發(fā)生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結(jié)果。
         有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。
         一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎取著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向?qū)映梢粋€圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圈圈。
         麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將兩端粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。
         圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結(jié)果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯圈激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。” 麥比烏斯圈就這樣被發(fā)現(xiàn)了。
奇妙的麥比烏斯圈：
         做幾個簡單的實驗，就會發(fā)現(xiàn)“麥比烏斯圈”有許多讓我們驚奇有趣的結(jié)果。
         你弄好一個圈,粘好,繞一圈后可以發(fā)現(xiàn),另一個面的入口被堵住了,原理就是這樣啊.
         如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線剪開，把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開后竟是一個大圈兒。
         如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發(fā)點，猜一猜，剪開后的結(jié)果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶不僅沒有一分為二，反而剪出一個兩倍長的紙圈。
         有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側(cè)曲面，它的兩條邊界自身雖不打結(jié)，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結(jié)罷了。
         關(guān)于麥比烏斯圈的單側(cè)性，可如下直觀地了解，如果給麥比烏斯圈著色，色筆始終沿曲面移動，且不越過它的邊界，Zui后可把麥比烏斯圈兩面均涂上顏色 ，即區(qū)分不出何是正面，何是反面。對圓柱面則不同，在一側(cè)著色不通過邊界不可能對另一側(cè)也著色。單側(cè)性又稱不可定向性。以曲面上除邊緣外的每一點為圓心各畫一個小圓，對每個小圓周指定一個方向，稱為相伴麥比烏斯圈單側(cè)曲面圓心點的指向，若能使相鄰兩點相伴的指向相同，則稱曲面可定向，否則稱為不可定向。麥比烏斯圈是不可定向的。
         麥比烏斯圈還有著更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在麥比烏斯圈上獲得了解決。比如在普通空間無法實現(xiàn)的“手套易位問題”：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質(zhì)的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎么扭來轉(zhuǎn)去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套。不過，倘若自你把它搬到麥比烏斯圈上來，那么解決起來就易如反掌了。
          “手套易位問題”告訴我們：堵塞在一個扭曲了的面上，左、右手系的物體是可以通過扭曲時實現(xiàn)轉(zhuǎn)換。讓我們展開想象的翅膀，設(shè)想我們的空間在宇宙的某個邊緣，呈現(xiàn)出麥比烏斯圈式的彎曲。那么，有朝一日，我們的星際宇航員會帶著左胸腔的心臟出發(fā)，卻帶著右胸腔的心臟返回地球呢！瞧，麥比烏斯圈是多么的神奇！但是，麥比烏斯圈具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數(shù)學家費力克斯?克萊茵（felix klein，1849～1925），終于找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，后來以他的名字命名為“克萊因瓶”。這種怪瓶實際上可以看作是由一對麥比烏斯圈，沿邊界粘合而成。
         通常的一張紙條兩端對接得到的紙環(huán)是有兩個面的。你拿一張紙條，一端扭轉(zhuǎn)180度，對接起來。這樣你用一支鉛筆在紙帶中央點一個點，然后以這個點為起點沿著紙帶畫線，畫一圈，兩個點重合了，但是不在同個面上。要想回到遠處，必須再走一圈。麥比烏斯圈其實是一怪圈。
麥比烏斯圈的應用：
         數(shù)學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續(xù)改變形狀時的一些特征和規(guī)律的，“麥比烏斯圈”變成了拓撲學中Zui有趣的單側(cè)面問題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中。運用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。